# Viotar

(Difference between revisions)
 Revision as of 12:11, 12 November 2010 (view source)S070790 (Talk | contribs)← Older edit Revision as of 12:13, 12 November 2010 (view source)S070790 (Talk | contribs) Newer edit → Line 212: Line 212: [[File:Helmholtzregionmodpath.png|frame|Border|center|Figure 2: The green path indicates the ideal modulation path.]] [[File:Helmholtzregionmodpath.png|frame|Border|center|Figure 2: The green path indicates the ideal modulation path.]] - - ==Ways to exite the string.== - - There are several possibilities to exite the string of the viotar. The only criteria is that is has to set in motion an Helmholz vibration, and that the Viotar has to remain playable with a normale guitar playing technique. - - From a list of possibilities four have been chosen that has to be further researched. We will look at the feasability of construction and if it is possible to meet the design requirements. - - The four subjects that will be researched are: - * Electro-magnet - * Piëzo-element - * Bowing wheel - * Bowing belt - - The findings of the research will be made into small reports, which will be used to choose a the method of exitation we are going to research in depth. - - ==Exitation by Elektromagnet== - ===Principle=== - - Another way to exite the string is by using an electromagnet force on the steel strings. This force is created by the flow of current through a coil wrapped around a magnetizable core, creating an electro magnet. The force can be controlled by changing the current that flows through the coil. Because current can be controlled by speeds in the order of several Gigahertz, the flow can be controlled very rapidly. - - - ====Estimation for the maximum bow force on the string==== - In figure x shows the string on the moment it's being exited by the violin bow. The displacement of the string is called 'u', creating two angles α and γ. The string will be exited on position βL. - - - [[File:snaex.PNG|frame|Border| Figure x: De snaar geëxciteerd over afstand u]] - - De kracht in y-richting kan berekend worden volgens: - - [[File:forv.PNG]] - - De grootste kracht die op een snaar komt is de kracht op een korte, dikke snaar. Er wordt aangenomen dat de lengte van deze snaar 20 cm is en de diameter 0.25 mm. - De kracht die op deze snaar komt te staan bij een uitwijking van 0.5 cm is ongeveer 40 N. - ====Schatting voor de maximaal uitgeoefende  dynamische kracht op de snaar==== - - Aangezien de snaar niet statisch uitgerekt wordt maar continu in beweging is, is de statische kracht die hierboven staat uitgewerkt niet de enige kracht waar rekening mee moet worden gehouden. De snaar moet namelijk volgens een vooraf gedefinieerd patroon gaan trillen, waardoor grote snelheidsveranderingen een rol gaan spelen. Volgens de tweede wet van Newton kan de kracht die nodig is om een massa een versnelling te geven te berekenen volgens F=m*a. - Aangezien de versnelling van de snaar lineair varieert over de snaar, moet voor elk segment van de snaar afzonderlijk worden berekend wat de versnelling en dus de benodigde kracht is. Hiervoor wordt de snaar opgedeeld in twee stukken, namelijk het stuk βL en het stuk (1-β)L. - Dit levert voor het stuk βL: - - [[File:forele.PNG]] - - Voor het stuk (1-β)L geldt:

- [[File:forele1.PNG]]
- Waarin: - a = de versnelling van de snaar op positie βL
- Adoorsnede = Het doorsnedeoppervlak van de snaar
- ρ = De dichtheid van de snaar
- - - De totale kracht die geleverd moet worden door de elektromagneet om de snaar te versnellen, wordt dus gegeven door:
- [[File:forele2.PNG]] - - Dit levert een kracht op ter grootte van 6,25 N voor de volgende parameters: - - a = 500 m/s2
- Adoorsnede = 5 ∙ 10-6 m2
- ρ = 8 ∙ 103 kg/m3
- - De maximale totale kracht, dus de kracht de geleverd moet worden om bij een grote uitwijking de snaar een grote versnelling te geven, is de som van Fy en Ftot. - - Dit betekent dat de totale benodigde magnetische kracht ongeveer 50 N bedraagt. - ===Haalbaarheid=== - Volgens de berekeningen is een elektromagneet die een kracht levert van 50 N voldoende om de snaar in een gewenste trilling te krijgen. Elektromagneten die deze kracht leveren, zijn te koop. Een probleem zou echter kunnen zijn dat de magneet te breed is in verhouding tot de afstand tussen de snaren, omdat er dan niet genoeg ruimte is om voor iedere snaar een magneet te plaatsen. Dit zou echter opgelost kunnen worden door de elektromagneten zelf te maken. De kracht van de elektromagneet is namelijk alleen afhankelijk van het aantal windingen en de stroom die door de windingen gaat. Aangezien er voldoende ruimte onder de snaren is, zou een elektromagneet gemaakt kunnen worden die dun en langwerpig is. - Tevens zou de magneet van de ene snaar de andere snaar kunnen verstoren aangezien het magneetveld te dicht bij de naastliggende snaren kan liggen. Hier is echter ook wel een oplossing voor te vinden. Bijvoorbeeld door een scherm tussen de magneten te plaatsen, wat magnetische veldlijnen tegenhoudt. Een ander idee is dat iedere magneet compenseert voor de storing van de naastliggende magneten. - - ===Nadelen=== - Ondanks dat het volgens de berekeningen en specificaties van bestaande magneten mogelijk zou moeten zijn om de snaar met een elektromagneet in de gewenste trillingsvorm te brengen, zijn er twee belangrijke nadelen aan dit concept. Het eerste nadeel is dat de snaar in dit ontwerp niet meer aangestreken wordt. Gevoelsmatig behoort het ontworpen instrument dus al niet meer tot de strijkinstrumenten, ondanks dat het wel hetzelfde geluid zal voortbrengen als een strijkinstrument. Waarschijnlijk het grootste minpunt aan dit concept is dat de synthese van het geluid erg onlogisch is. Om de snaar in de gewenste trillingsvorm te brengen, moet namelijk eerst deze trillingsvorm bekend zijn. Het verkrijgen van deze trilling zal geen problemen geven. Dit kan of uit een model komen, of opgenomen worden van een strijkinstrument. Maar als deze trilling eenmaal bekend is, is het erg onlogisch om dit via een elektromagneet, door de snaar, door een trillingsopnemer, en dan nog door een versterker te laten gaan, om het uiteindelijk af te spelen. Dit omdat het geluid eigenlijk al afgespeeld kan worden zodra de trillingsvorm bekend is. - ===Conclusie=== - De conclusie over dit concept is dat het hoogstwaarschijnlijk zal werken en dat de trillingsvorm vrij gekozen kan worden. Dit weegt echter niet op tegen het nadeel dat er niet meer gestreken wordt en met name tegen het nadeel dat er een erg onlogische route gevolgd moet worden terwijl dit totaal onnodig is. - ==Actuatie door piëzo== - ===Principe=== - Een piëzo actuator maakt gebruik van het verschijnsel dat kristallen van bepaalde stoffen uitzetten als er een spanning op komt te staan of omgekeerd, ze geven een spanning af als er druk op het kristal wordt uitgeoefend. De naam piëzo is dan ook afgeleid van het Griekse woord piezein, wat drukken betekent. - Het concept voor actuatie door piëzo, is dat er aan de snaar een piëzo-element wordt gekoppeld, wat uitzet als er een spanning op wordt gezet. Het idee is dat door de spanning te variëren, de beweging van de snaar gecontroleerd kan worden, waardoor de gewenste trilling in de snaar kan worden gebracht. - ===Haalbaarheid=== - Als er naar de haalbaarheid van dit concept wordt gekeken, blijkt de combinatie van benodigde kracht en benodigde uitwijking een moeilijkheid te vormen. Piëzo’s zetten namelijk maar erg weinig uit, variërend van enkele micrometers tot soms tientallen micrometers. Er zijn wel piëzo-elementen op de markt die dienen als lineaire motor en een maximale uitwijking hebben tot soms wel 100 mm, maar deze leveren weer niet de benodigde kracht. Een andere mogelijkheid is zogenaamde piëzo stacks gebruiken. Dit is als het ware een serieschakeling van piëzo’s waardoor de maximale uitwijking toeneemt. Deze uitwijking is echter ook nauwelijks meer dan 1 mm. - ===Nadelen=== - Het belangrijkste nadeel van actuatie met piëzo’s is dat de uitwijking die ze geven niet groot genoeg is. Dit is deels op te vangen door een stack te gebruiken, maar zelfs dan is de uitwijking nog niet groot genoeg om de snaar in de gewenste trillingsvorm te brengen. Daarnaast is er in dit ontwerp geen sprake meer van een strijkinstrument. - ===Conclusie=== - Uit het voorgaande kan geconcludeerd worden dat het niet mogelijk is om de snaar in de gewenste trilling te brengen door middel van piëzo actuatoren. Tevens zou er dan geen sprake meer zijn van een strijkinstrument, wat ook een zwaar wegende factor is. - - ==The bowing wheel== - [[File:boww.PNG|frame|Border| Figure 1.1: Simple drawing of the bowing wheel with the string.]] - [[File:boww1.PNG|frame|Border| Figure 1.2: In both drawings the black dot is the cross section of the string and the bowing medium is red. Left: with a bow the bow hairs tilt slightly towards the string around the bowing point. Right: the surface of the bowing wheel tilt away from the string around the bowing point.]] - [[File:boww.PNG|frame|Border| Figure 1.3: The bowing wheel rotating clockwise blocks the string from moving back when the string is deflected.]] - One straightforward way to excite the string electronically is by using a “bowing wheel”, which contacts the string as shown in Figure 1.1. - - - - - As we know from practice, exciting the string using stick-slip with a bow works. It is where the notion of a good-sounding bowing sound comes from in the first place, so this should be the reference of how the bow-string interaction should be. A good way to see how well a bowing wheel can produce a sound like this is to look into how far a bowing wheel can act like a bow, and determine what exactly marks the essential difference with a bow. Finally it should be determined if this difference will pose a problem. - A set of properties of the bowing medium that influence the bow-string interaction has been assembled: - *The stiffness of the medium in z-direction - *The stiffness of the medium in y-direction - *The impulse response of the medium in z-direction - *The impulse response of the medium in y-direction - *All the surface properties of the medium (including the presence of rosin) - *The shape of the medium directly surrounding the point of contact with the string - The bow’s stiffness in z-direction can be simulated using a bowing wheel by suspending the wheel in some way in z-direction. The bow’s stiffness in y-direction, coming from the longitudal stiffness of the bow’s hairs, corresponds with the rotational stiffness of the wheel in ϕ direction. The wheel can be suspended in this direction as well, so the bow’s stiffness in y-direction can be accounted for. The impulse responses in both y- and z-directions can be simulated in the control of the rotation of the wheel and the z-translation of the wheel, respectively. The surface properties can then theoretically match those of a mat of bow hairs when a mat of bow hairs is somehow applied to the outside of the wheel. This leaves only the property of the shape of the wheel to be compensated for. - The wheel, as it is round, doesn’t have the same shape around the string as a bow. This is important because when the string transverses in y-direction (which will be the direction in which it will ideally vibrate), it keeps contact with a bow because a bow is almost straight, with the bow hairs actually tilting a bit towards the string around the bowing point, as in the left side of Figure 1.2. With a bowing wheel this is different, because it tilts away from the string around the bowing point, as shown in the right side of Figure 1.2. - - - - - This does not necessarily mean that the string loses contact with the wheel. This is because the wheel is pushed against the string with a certain force, so the string will have a static positive deflection in z-direction and is pulled down by its terminations. Because of this, as the string transverses, the string will keep contact with the bowing wheel. However, the bowing wheel is not capable of moving in y-direction, so when the string is deflected in y-direction the situation will look like Figure 1.3. In this situation the string is actually pressing harder against the wheel because of its own urge to go back to a neutral position. This causes the friction force of the wheel to increase, probably resulting in a blockage of the system. - - - - - - This effect could hypothetically be prevented by the controller for the z-translation of the wheel. If the current friction force and normal force between the wheel and the string could be determined at every moment, the controller could “make sure” that these two stay at “natural” values (i.e. the same as when using a bow). This requires a constant reference for these both forces over the course of one vibration period, and a construction together with an actuator capable of following this reference with a total delay time including the sampling of the force measurements t_d that is much smaller than one vibration period, t_d≪T. This in addition with the sensors that are needed to measure the forces, makes bowing wheel a very unrealistic concept.

# Viotar project groep

William Schattevoet
David Duwaer
Eric Backx
Arjan de Visser

Welkom op de pagina van de Viotar project groep, op deze pagina zullen we de voortgang van ons minorproject bij gaan houden. Waar de meeste minorprojecten vooraf vastgestelde opdrachten zijn is het Viotar project bedacht door een deel van de groep. Het project is voortgekomen uit het persoonlijk onbehagen dat de klassieke viool tijdens het spelen opwekte en het doel is daardoor het maken van een nieuw soort instrument wat wel de voordelen maar niet de nadelen van dit instrument heeft. Deze pagina zal vrijwel dagelijks bijgewerkt worden met de nieuwe bevindingen en resultaten.

## Motivatie

De afgelopen eeuw zijn elektrische instrumenten immens populair geworden, de elektrische gitaar is hier een goed voorbeeld van. Elektrische strijkinstrumenten zijn echter nooit echt aangeslagen. Dat roept de vragen op waarom dit zo is. Er zijn verschillende gebreken aan deze electrische strijkinstrumenten aan te wijzen die de achterblijvende populariteit kunnen verklaren. De bestaande elektrische strijkinstrumenten zijn trouw gemodelleerd naar de traditionele akoestische familie van strijkinstrumenten, waarvan de bekendste instrumenten de viool, de altviool, cello en contrabas zijn. Deze traditionele instrumenten hebben echter verschillende nadelen die de nieuwe electrische modelen dus ook hebben:

• Heel moeilijk te bespelen (slechte combinatie van strijkdruk en snelheid resulteert in een lelijk “krassend” geluid)
• Beperkt bereik, om het volledige spectrum te dekken van toonhoogte moeten meerdere instrumenten gebruikt worden (i.e. viool hoog, cello laag en contras daaronder)
• Akkoorden zijn onmogelijk om te spelen, hooguit snaren tegelijk.
• Onprettige ergonomie

Dit motiveert het maken van een elektrisch strijkinstrument dat geen van deze gebreken ondervind.

Onder andere betekent dit dat er dus akkoorden op gespeeld moeten kunnen worden. Met andere woorden, er moeten meer dan 2 snaren tegelijk bespeeld kunnen worden. Deze eis kan worden uitgebreid zodat íedere combinatie van snaren tegelijk gespeeld moet kunnen worden, zoals dit bij de elektrische gitaar het geval is. Dit sluit het gebruik van een strijkstok zoals bij de traditionele strijkinstrumenten uit. Hierdoor kan de oorspronkelijke ergonomie van deze strijkinstrumenten worden losgelaten, en kan men een betere ergonomie ontwerpen.

Ook moet het nieuwe instrument makkelijk bespeeld kunnen worden. Wat strijkinstrumenten moeilijk maakt is het feit ze “goed” moeten worden bestreken (de goede combinatie van druk en snelheid) om überhaupt een goede toon te krijgen. Het nieuwe instrument moet deze verantwoordelijkheid in feite overnemen, dus het instrument moet “zelf” verzorgen dat er altijd sprake is van de goede combinatie van strijksnelheid en druk.

Deze eis in combinatie met het feit dat alle snarencombinaties tegelijk gespeeld moeten kunnen worden, doet denken aan een soort mechaniek dat het bestrijken van de snaren gaat verzorgen.

Dit laatste in combinatie met de eis dat het ergonomisch moet zijn en een groot bereik moet hebben, maakt een elektrische gitaar een goed model om vanuit te gaan. Het doel is om een elektrische gitaar om te bouwen tot een instrument met bovengenoemde eigenschappen.

## Programma van eisen

Vanuit de zojuist genoemde eigenschappen waar de viotar aan zou moeten voldoen zijn de volgende (kwalitatieve) eisen geformuleerd:

• Het geluid bestaat uit een door de snaren gegenereerd en elektronisch verwerkt signaal.
• De snaren kunnen in alle combinaties simultaan bespeeld worden.
• Op ieder tijdstip in een gespeelde noot is de amplitude van de noot varieerbaar van het minimaal tot het maximaal mogelijke op de snaar. De onder- en bovengrens worden opgelegd door de mogelijkheid om bij een bepaalde lage of hoge strijksnelheid en/of druk nog Helmholtz-trilling te kunnen genereren.
• Het mechaniek en de user-interface laten het toe dat er 18 verschillende noten per seconde op één snaar worden gespeeld.
• Het mechaniek en de user-interface laten het toe dat er 18 verschillende noten per seconde op verschillende snaren achter elkaar worden gespeeld.
• De snaar maakt bij aanstrijking een Helmholtz trilling, ongeacht het niveau van de speler.
• Het instrument moet net als bij strijkinstrumenten vrij “tokkelbaar” zijn: Als de gebruiker niet aan het strijken is, moet de ruimte boven de snaren volledig vrij zijn, en onder de snaren moet tussen de 5 en de 15cm van de brug, 5mm onder de snaren vrij zijn.
• Het bereik moet vanuit het gebied van de bas tot in de sopraan reiken: De laagste noot lager zijn dan E4, en de hoogste noot moet hoger zijn dan A5.

## Stappenplan

Voor de aanpak van dit probleem is een stappenplan gemaakt, aan de hand van dit stappenplan is ook de planning gemaakt die later op de site zal komen.

1. Concept
• Wat we willen
• Waarom (motivatie)
2. Definitie
• Ontwerpeisen
3. Ontwerp
• Literatuurstudie
• Model
• Regelaar + mechanieken
• Experimenteren met regelaar met verschillende mechanieken -> mechaniek kiezen
• Ergonomie
• Experimenteren met verschillende ergonomische alternatieven
• Definitief ontwerp
4. Voorbereiding
• Inkopen voor prototype
5. Productie
• Prototype
6. Evaluatie

## Planning

De tijdsplanning van het Viotar project.

### Taakverdeling

Tijdens de komende weken van het project zal er vooral in 2 verschillende groepen gewerkt gaan worden. De ene groep, bestaande uit David en Eric, zal zich vooral bezig houden met het maken van een matlab model. De andere groep, bestaande uit William en Arjan, zal zich vooral bezig gaan houden met de testopstelling. Arjan zal zich ook bezig gaan houden met het bijhouden van deze wiki om onze voortgang voor iedereen inzichtelijk te houden.

## Werking van de viool

Figuur 1: Het doorlopen van een complete Helmholtz trilling.

Om een electrisch strijkinstrument te kunnen maken is het allereerst belangrijk om te weten hoe een strijkinstrument zijn geluid produceerd. Daarom zal dit hier kort uigelegd worden.

Anders dan bij het tokkelen op een gitaar, levert het strijken op een viool geen staande golf op. De trilling die bij het strijken van een viool wordt opgewekt is, in tegenstelling tot de trilling op een gitaar, ook niet lineair. Er ontstaat bij juist aanstrijken van een snaar een zogenaamde Helmholtz trilling. Bij deze trilling beweegt de snaar in een “V”-patroon, ook wel Helmholtz hoek genoemd.. Dit houdt in dat de snaar wordt ‘opgedeeld’ in 2 rechte segmenten die bij elkaar komen in een scherpe hoek. Deze scherpe hoek beweegt rond gedurende de toon. Hoe de snaar er tijdens deze beweging uitziet is te zien in figuur 1.

De Helmholtz beweging wordt veroorzaakt door twee verschijnselen op het contactoppervlak tussen de boog en de snaar die ‘stick’ en ‘slip’ worden genoemd. Tijdens de ‘stick’ periode blijft de snaar aan de boog plakken waardoor deze wordt meegenomen. Gedurende de ‘slip’ periode glijdt de snaar weer terug langs het boogoppervlak. ‘Stick’ vindt plaats wanneer de Helmholtz hoek zich tussen de boog en je hand bevindt (rechts van de boog in figuur 1), ‘slip’ vindt plaats wanneer de Helmholtz hoek zich tussen de boog en de brug bevindt (links van de boog in figuur 1). De moeilijkheid van het bespelen van een viool zit hem in het feit dat deze Helmholtz beweging alleen plaatsvindt onder de juiste combinatie van snelheid en druk op de boog. Als er in verhouding te zacht met de boog op de snaar gedrukt wordt, zal deze teveel over de snaar slippen. Wordt er echter teveel druk uitgeoefend op de boog dan zal er teveel ‘stick’ optreden. Tevens van invloed is de positie van de boog ten opzichte van de brug van de viool. Het gebied waarin een Helmholtz trilling optreedt bij constante strijksnelheid wordt weergegeven in een zogenaamd Schelleng diagram (zie figuur 2). In dit diagram is te zien hoe hard er minimaal en maximaal gedrukt mag worden om in het Helmholtz gebied te blijven, als functie van de afstand tot de brug.

Figuur 2: Schelleng diagram dat het Helmholtzgebied aanduidt.

## Model

### Model voor de frictiecurve

Om de resultaten van eventuele experimenten te kunnen voorspellen en het maken van een regelaar makkelijker te maken zal een model gemaakt worden van de Helmholtz trilling van de snaar. Dit model word in matlab gemaakt en de theorie achter het model word in het volgende stuk besproken.

In simpele modellen van de interactie tussen boog en snaar, wordt ervan uitgegaan dat de wrijvingskracht tussen beide alleen afhangt van de relatieve snelheid van de snaar ten opzichte van de boog. Het verband heeft volgens deze modellen een exponentiële vorm zoals in onderstaand figuur 3. Hierin is v de snelheid van de snaar en vb de snelheid van de boog. Deze wrijvingskracht op het interactievlak tussen boog en snaar is te berekenen volgens:

Waarbij µ de wrijvingscoëfficiënt is en fb de kracht waarmee de boog op de snaar wordt gedrukt.

Figuur 3: a) Het verband tussen de relatieve snelheid van de snaar, t.o.v. de boog, en de wrijvingskracht. b) Release velocity vr en capture velocity vc .

Er zijn verschillende modellen voor de wrijvingscoëfficiënt. Het hyperbolische model wordt gegeven door de relatie:

Hierin is v0 de initiële boogsnelheid, µd de dynamische frictiecoëfficiënt en µs de statische frictiecoëfficiënt. In de meeste modellen wordt µd = 0.3 en µs = 0.8 gebruikt.

Het exponentiële frictiemodel wordt gegeven door:

Figuur 4: Het verband tussen snaarsnelheid v en wrijvingscoëfficiënt µ volgens het model (gestippeld) en volgens experimentele bepaling (getrokken).
Figuur 5: Schematische weergave van het strijken van een snaar. De gestippelde lijn in situatie 2 geeft de werkelijke situatie weer, de getrokken lijn geeft de versimpelde voorstelling waarin zonder slip gestreken kan worden.

In figuur 3 is tevens een verband weergegeven tussen de kracht die op de snaar wordt uitgeoefend en de snelheid die de snaar hierdoor krijgt. Dit dynamische gedrag van de snaar is volgens experimenteel onderzoek in benadering lineair. In figuur 3 b) zijn ook de release velocity vr en de capture velocity vc getekend. Dit zijn de snelheden waarbij de snaar respectievelijk losgelaten en meegenomen wordt door de boog. Dit kan als volgt worden uitgelegd. Als de snelheid van de snaar toeneemt, zal deze over de boog blijven slippen totdat de capture velocity vc is bereikt. Op dat moment blijft de snaar aan de boog plakken (‘stick’) waardoor de snaarsnelheid een sprong maakt naar de boogsnelheid vb. De snaar zal blijven plakken totdat deze de release velocity vr bereikt. Dit betekent dus dat de oplossing van de krachtsvergelijking een andere route over de grafiek volgt als de relatieve snelheid toeneemt dan wanneer deze afneemt.

#### Frictiemodel vs. Experiment

In het eenvoudige model dat in figuur 3 is afgebeeld, is ervan uitgegaan dat de wrijvingskracht alleen afhangt van de relatieve snelheid tussen de boog en de snaar. Uit metingen is echter gebleken dat het verband niet zo eenvoudig is. De gestippelde lijn in figuur 4 laat het verband tussen snaarsnelheid en wrijvingscoëfficiënt zien zoals dat uit het bovengenoemde model komt. De getrokken lijn geeft het werkelijke verband, welke experimenteel is bepaald. Uit deze figuur blijkt duidelijk dat de klassieke benadering niet klopt.

#### Verklaringen voor fouten in het frictiemodel

Een van de verklaringen hiervoor is dat de temperatuur van het interactievlak een sterke invloed heeft. De verklaring hiervoor is dat als de snaar een relatief kleine snelheid heeft ten opzicht van de boog, de contactlaag afkoelt door geleiding naar het materiaal buiten het contactgebied. Hierdoor nemen de schuifsterkte en de wrijvingscoëfficiënt op het contactgebied toe. Zodra er meer ‘slip’ plaatsvindt, warmt het contactgebied op door de arbeid die tegen de wrijving in wordt geleverd. Door deze warmteproductie wordt de hars in het contactgebied zachter en neemt de wrijvingscoëfficiënt snel af. Een ander verschijnsel dat veel invloed blijkt te hebben op de wrijvingskracht tussen boog en snaar, is de zogenaamde bow hair-compliance. Deze afwijking wordt veroorzaakt door het feit dat de boog niet op één punt contact maakt met de snaar, zoals verondersteld in het klassieke model, maar een contactgebied heeft. Het verschil is dat het voor een contactpunt wel mogelijk is dat de snaar zonder ‘slip’ de boog volgt, terwijl dit voor een contactgebied niet mogelijk is. In figuur 5 wordt aangegeven waarom dit niet mogelijk is. Situatie 1 is hierbij de uitgangssituatie. Hierin staat de boog op de snaar en is de snaar geëxciteerd. Een tijdsinterval later (situatie 2) is de boog met een snelheid vb omhoog bewogen en is de snaar door ‘stick’ gedrag meegenomen. De gestippelde lijn geeft de situatie weer zoals deze in werkelijkheid optreedt. De getrokken lijn geeft weer hoe vorm van de snaar zou moeten zijn als de snaar zonder enige vorm van ‘slip’ meegnomen zou zijn. Het moge duidelijk zijn dat deze situatie niet optreedt en er dus nooit geheel zonder ‘slip’ gestreken kan worden.

Uit experimenten is echter wel gebleken dat de simpele voorstelling van de wrijvingscurve voldoende is om te kunnen simuleren wat de invloed is van het veranderen van wrijvingssnelheid en –druk op het al dan niet plaatsvinden van een Helmholtz beweging. Voor de toepassing van ons computermodel zal de wrijvingscurve zoals deze in figuur 3 is voorgesteld dus wel voldoen.

### Computermodel

#### Variabelen

Er zijn 3 waarden in te stellen in het model. Dit zijn de snelheid van de boog (vb), de druk die met de boog op de snaar uitgeoefend wordt (Fb) en als laatste een factor die de afstand tussen de boog en de kam ten opzichte van de lengte van de snaar aangeeft (beta).

#### Werking van het programma

Figuur 6: De symmetrische Gauss-kromme.

In het programma wordt het simulatiegebied opgedeeld in n intervallen, met een grootte dt. Het programma doorloopt voor elke tijdstap dt een loop waarin met behulp van bekende waarden voor de positie, kracht en snelheid uit het verleden de nieuwe waarden voor deze grootheden bepaald kunnen worden. Van belang hierbij is dat de snelheid waarmee een op de snaar uitgeoefende kracht zich door de snaar beweegt bekend is. Zo kan er op tijdstip i altijd terug gekeken worden in de geschiedenis welke krachten uit het verleden op tijdstip i teruggekaatst zijn en dus weer van invloed zijn op de beweging van het gesimuleerde punt. Om de exacte werking van het model te illustreren, zal hieronder de loop van één tijdstap doorlopen worden. Het model zelf is ook bijgevoegd. (Let op! Het model is nog niet werkend of voorzien van commentaar). De snaar wordt bekeken op positie x op tijdstip i. Trillingen die op positie x veroorzaakt worden, gaan via de snaar naar de uiteinden van de snaar, van waar ze teruggekaatst worden naar positie x. Op tijdstip i wordt eerst uitgerekend op welk tijdstip de trillingen die op dat moment terugkomen op positie x uitgezonden werden. Dit is dus een tijdstip in het verleden. Aangezien de snelheid waarmee de golf zich voortplant geen meervoud is van dt, zal er meestal geïnterpoleerd moeten worden tussen twee tijdstippen. Omdat trillingen die nog niet helemaal teruggekeerd zijn, of juist alweer voorbij positie x zijn ook invloed hebben op de beweging op positie x, wordt er ook rekening gehouden met deze trillingen. Met behulp van een symmetrische Gauss-kromme (zie figuur 6) wordt de invloed van deze trillingen uitgerekend en opgeteld bij de trilling die precies op tijdstip i is teruggekeerd. Al deze trillingen zijn in feite krachten die van invloed zijn op de snaarsnelheid v op tijdstip i. Met behulp van het frictiemodel kunnen de resulterende kracht omgezet worden in een nieuwe snaarsnelheid. Dit is dus de snaarsnelheid vi op tijdstip i.

Als deze loop voor alle tijdstappen doorlopen is, is er dus een vector v gemaakt met daarin voor elke tijdstap i de bijbehorende snelheid vi. Uit deze snelheidsvector kan eenvoudig de positievector u bepaald worden door middel van integratie over alle tijdstappen dt.

Als de complete trilling van de snaar bekend is (positie als functie van de tijd), kan door een fouriertransformatie toe te passen een powerspectrum gemaakt worden waarin de amplitude verhoudingen te zien zijn in het frequentiedomein.

#### Problemen

Het grootste probleem tot nu toe is dat de frequentie van de snaartrilling steeds afhankelijk blijkt te zijn van de strijksnelheid en –druk. In de werkelijkheid is dit niet het geval en wordt de frequentie slechts beïnvloed door de lengte van de snaar. Met het variëren van de strijksnelheid en –druk wordt in werkelijkheid alleen de amplitude en dus de luidheid van de trilling beïnvloed. Dit probleem wordt waarschijnlijk veroorzaakt door een ander probleem. Namelijk het modelleren van de snaarstijfheid, dus welke kracht de snaarstijfheid genereert als functie van de tijd. Hiervoor moet nog een oplossing gevonden worden.

### Analyses met het model

Met behulp van het werkende model kan een Helmholtz trilling gegenereerd worden. Deze trilling kan daarna geanalyseerd worden met behulp van matlab. Het model herkent een trilling en kan deze klassificeren in een aantal groepen. Uit alle gemodeleerde trillingen is een zuivere Helmholttrilling gepakt, deze ziet er uit als in de linker plot hier onder. Daarna is er een m-file gemaakt die een Fourier transformatie uitvoerd op deze trilling en een frequentiedomein plot. Dit frequentiedomein is weergegeven in de rechter plot hieronder.

Figuur X: Helmholtztrilling met bijbehorend frequentiespectrum.

### Region of Helmholtz motion in parameter space

The model has been run for a 20x20 grid of bowing speeds and bow forces. This has yielded the plot of Figure 1.

Figure 1: Model-generated plot. Where there’s blue, there’s no Helmholtz motion. The other colors indicate note flattening effect. The darker red, the bigger the flattening.

It’s interesting that there are exceptions to the main trend in the figure, that is, the “holes” in the Helmholtz region and the occurrences of Helmholtz outside the main region. This is strange because in a mathematical model, unlike in “reality”, there’s no noise or chaos. Probably, the reason why the results may be unpredictable is that these are not steady-state results, so there may still be startup phenomena. A way we may solve it in the future is to use “perfect transients”, in which Helmholtz motion is obtained within one period by following a certain acceleration path for the bow speed. Restrain should also be kept regarding the accuracy of the algorithm that “recognizes” if there is a Helmholtz vibration or not.

Despite the inaccuracies, there is already valuable info in this plot. It becomes very clear “where” in the parameter space you want to be, as the lower part of the Helmholtz region has the smallest note flattening. When modulating the note intensity, the ideal path that should be taken would be somewhat like the green line drawn in Figure 2.

Figure 2: The green path indicates the ideal modulation path.